Conjuntos
Introdução
Essa unidade, em conjunto com as outras, vão formalizar alguns conceitos da linguagem matemática vistos no Ensino Médio, visando uma maior maturidade de pensamento. Vamos começar?
Definição
Um agrupamento de objetos ou elementos é chamado de conjunto na matemática, podendo ser uma coleção de objetos quaisquer, até mesmo outros conjuntos.
Para representarmos um conjunto utilizamos um par de chaves { }, que são usadas para indicar o início e o término da delimitação dos elementos de um conjunto, e esses são separados por vírgula dentro das chaves.
Para deixar bem clara a ideia de conjunto, utilizamos as chaves { } e, geralmente, indicamos o nome do conjunto com uma letra maiúscula:
B = {2, 4, 6}
C = {positivo, negativo}
Os nomes dos elementos e dos conjuntos podem variar, ficando a critério de quem está criando/utilizando, podendo ser levada em consideração a situação ou alguma norma. Um elemento pode ou não pertencer a um conjunto e para indicar o pertencimento nós utilizamos os símbolos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence).
Pela notação temos que: A = {a, e, i, o, u}
Também temos que O ∈ A, T ∉ A.
Quando tratamos de um conjunto com relação a outro conjunto, dizemos que ele está contido (usando o símbolo ⊂) ou não está contido (usando o símbolo ⊄).
Exitem diversos tipos de conjuntos, os mais utilizados são:
- N - Naturais;
- Z - Inteiros;
- Q - Racionais;
- R - Reais;
- C - Complexos
N - Conjunto dos números Naturais
Neste conjunto temos a noção de ordem, ou seja, 0 é menor que qualquer número natural; 1 é menor que 2, então: 1 < 2, assim como: 2 < 3 < 4 < 5...
Z - Conjunto dos números Inteiros
O conjunto Z é formando quando os números negativos são acrescentados ao conjunto dos naturais N. Neste conjunto, a noção de ordem também prevalece, pois um número X e menor que outro Y se o primeiro vem antes do segundo, ou seja: X < Y.
Q - Conjunto dos números Racionais
Número racional vem de razão ou divisão. Podemos escrever o conjunto Q dos racionais da seguinte forma:
Podemos concluir que: o conjunto dos racionais Q é constituído por qualquer número expressado como a divisão de a por b, sendo esses números inteiros e b ≠ 0. Com isso, podemos afirmar que as razões 1/2, 1/3, 3/4 são números racionais. É possível afirmar também que 2 pode ser classificado como racional, pois 2 = 2/4 = 4/8 = 20/10.
Todo número racional escrito na forma de fração a/b possui sua representação decimal (resultado da divisão de a por b).
CASOS A PARTE: os números √2, √5 e π não são possíveis de serem escritos na forma fracionária a/b por possuírem infinitos dígitos e não formarem períodos, são chamados de números irracionais.
obs: os números irracionais não fazem parte do conjunto dos racionais.
R - Conjunto dos números Reais
O conjunto do números reais R é formado a partir da união dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
Podemos afirmar que todos os números pertencem ao conjunto R? NÃO! Nos números reais, não existem raízes pares de números negativos.
C - Conjunto dos números Complexos
O conjunto C é constituído pela unidade imaginária i que por definição temos que: √-1 = i, então a partir dessa definição temos que o conjunto C pode ser escrito como a + bi.
Representação dos Conjuntos
Os conjuntos podem ser representados de diversas maneiras, podemos explicar cada um de seus elementos, citar uma propriedade em comum e também podemos representa-los por diagrama
Representação por citação:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {1, 2, 3, 4, 5}
Representação por uma propriedade em comum:
A = {x ∈ N | 2 =< x =< 12 e x é par}; B = { x ∈ N | 1 =< x =< 6}
Representação por diagramas:
Subconjuntos
Como já vimos, um conjunto pode estar contido ou não em outro conjunto. Na teoria dos conjuntos, temos que para cada conjunto existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos todos os subconjuntos do conjunto dado.
Ou seja, dado um conjunto A podemos dizer que ele é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo(s) o(s) elemento(s) de A pertence(m) também a B.
A
x)(x ∈ A -> x ∈ B)ATENÇÃO!
O símbolo
A
representa qualquer, ou seja, qualquer que seja o elemento x em A, quando falamos qualquer estamos considerando qualquer elemento, ou seja: todos os elementos.Os subconjuntos podem ser compreendidos como conjuntos que estão, na totalidade, em outros conjuntos como podemos oservar na ilustração abaixo:
Agora temos uma nova relação, não mais entre elemento e conjunto, mas entre conjuntos, a chamada Relação de Inclusão.
Então temos: B {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; I {1, 3, 5, 7, 9}
Com isso, concluímos que todos os elementos de I pertecem a B, então I ⊂ B. Representando por diagrama, temos:
Cardinalidade
Vamos considerar como A um conjunto qualquer, o número de elementos de A é chamado de cardinalidade, sendo representado por #A ou n(A).
Segundo exemplo: o conjunto B das raízes reais da equação x² - 8x + 1 = 5, nesse caso, como B {3,5}, tendo dois elementos, logo: n(B) = 2, #B = 2 ou |B| = 2
Vale destacar que a cardinalidade do conjunto vazio {} é 1, ou seja, #{} = 1, pois é considerado que dentro de qualquer conjunto vazio existe um outro conjunto vazio, ou seja, o conjunto vazio {} é um subconjuno de qualquer outro conjunto.
Ainda fazemos constar que: se um conjunto possui somente 1 elemento, ele é chamado de conjunto unitário, se possui 2 elementos ele é chamado de conjunto binário etc. Se um conjunto é referência para outro conjunto ele é chamado de conjunto Universo.
Operações entre Conjuntos
Operações entre conjuntos são processos que combinam dois ou mais conjuntos para gerar um novo conjunto com base em algumas regras matemáticas. Veja as operações mais comuns:
União ( ∪ ) -
Combina todos os elementos de dois ou mais conjuntos, tendo como resultado um novo conjunto formado a partir de todos os elementos de ambos os conjuntos.
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Intersecção ( ∩ ) -
Retorna os valores que são comuns a dois ou mais conjuntos. O resultado é um conjunto contendo os elementos que são comuns aos dois conjuntos, ou seja, que estão presentes em ambos.
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A ∩ B = {3}
Diferença ( - ) -
Tem como resultado os elementos que estão presentes em um conjunto mas não estão em outro. A diferença de A e B é o conjunto de elementos que estão em A, mas não estão em B.
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A - B = {1, 2}
Diferença Simétrica ( ∆ ) -
Retorna todos os elementos que estão em um conjunto ou no outro, mas não em ambos.
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A ∆ B = {1, 2, 4, 5}
Complemento ( Ac ) -
Mostra todos os elementos que não pertencem ao conjunto A, em relação a um conjunto universo U.
Exemplo: Se o universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {1, 2, 3}, então o complemento de A é Ac = {4, 5, 6}
Produto Cartesiano
O produto cartesiano é uma operação entre dois ou mais conjuntos que retorna como resultado um novo conjunto composto por pares de elementos desses conjuntos.
Definição:
Consideremos os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A X B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), onde a é um elemento de A e b é um elemento de B. Vejamos:
A X B = {(a, b) | a ∈ A E B ∈ B}
Exemplo: Se A = {1, 2} e B = {x, y}, o produto cartesiano A X B seria:
A X B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
Propriedades das Operações entre Conjuntos
São várias as propriedades das operações entre conjuntos, elas nos ajudam a entender como os conjunto se relacionam e se comportam. As propriedades são válidas para operações como União, Intersecção e Diferença. Confira abaixo as informações sobre essas propriedades:
Propriedades da União ( ∪ )-
- Comutatividade: A ordem dos conjuntos não altera o resultado final, então:
A ∪ B = B ∪ A
- Associatividade: A união de vários conjuntos pode ser feita agrupando-os de qualquer maneira, ou seja:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- Elemento Neutro: A união de um conjunto com o conjunto vazio ∅ resulta no próprio conjunto, veja:
A ∪ ∅ = A
- Idempotência: A união de um conjunto com ele mesmo resulta no próprio conjunto, então:
A ∪ A = A
- Dominação: A união de um conjunto com o conjunto universo U tem como resultado o conjunto universo U, ou seja:
A ∪ U = U
Propriedades da Intersecção ( ∩ ) -
- Comutatividade: A ordem dos conjuntos não altera o resultado, então:
A ∩ B = B ∩ A
- Elemento Neutro: A intersecção de um conjunto com o conjunto universo U resulta no prórprio conjunto, veja:
A ∩ U = A
- Idempotência: A intersecção de um conjunto consigo mesmo resultado no próprio conjunto, então:
A ∩ A = A
- Absorção: A intersecção de um conjunto com o conjunto vazio ∅ resulta no conjunto ∅, ou seja:
A ∩ ∅ = ∅
Propriedades da Diferença ( - ) -
- Elemento Neutro: A diferença de um conjunto com o conjunto vazio ∅ resulta no conjunto vazio ∅, então:
A - ∅ = ∅
- Dominação: A diferença entre um um conjunto e ele mesmo resulta no conjunto vazio ∅, veja:
A - A = ∅
- Identidade: A diferença de um conjunto com o conjunto universo U resulta no conjunto vazio ∅, ou seja:
A - U = ∅
- Subconjunto: Se A ⊆ B, então A - B = ∅
Propriedades da Diferença Simétrica ( ∆ ) -
- Comutatividade: A diferença simétrica é comutativa, ou seja, a ordem dos conjuntos não altera o resultado, confira:
A ∆ B = B ∆ A
- Elemento Neutro: A diferença simétrica de um conjunto com um conjunto vazio resulta no próprio conjunto, então:
A ∆ ∅ = A
Propriedades do Complemento (Ac) -
- Complemento do Universo: O complemento do conjunto universo U é o conjunto vazio ∅, veja:
Uc = ∅
- Complemento do Conjunto Vazio: O complemento do conjunto vazio é o conjunto universo U, confira:
∅c = U
- Leis de Morgan: Relacionam a União e Intersecção com os complementos, então:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Propriedades distributivas
A chamada propriedade distributiva de conjuntos diz respeito as operações de União ( ∪ ) e Intersecção ( ∩ ) entre conjuntos. Essa propriedade afirma que a Intersecção e união podem ser distribuídas de forma semelhante à multiplicação e adição na aritmética.
Propriedade distributiva de intersecção sobre a união:
Consideremos os conjuntos A, B e C:
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
Isso significa que a intersecção de A com a união de B e C é igual à união das intersecções de A com B e A com C.
Propriedade distributiva da união sobre a intersecção:
Também existe o inverso da propriedade anterior:
A ∪ ( B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Essa propriedade indica que a união de A com a intersecção de B e C é igual à intersecção das uniões de A com B e A com C.
Intervalos Reais
Intervalos reais são subconjuntos dos números reais R que representam todos os números contidos entre dois valores, estes valores são então chamados de extremos do intervalo. Os intervalor podem ser limitados ou ilimitados, dependendo se possuem ou não limite definido.
Tipos de Intervalos Reais:
- Intervalos fechados: Inclui os dois extremos do intervalo, sendo representado por colchetes:
[a, b] = {x ∈ R | a =< x =< b}
Exemplo: [1, 5] inclui todos os números entre 1 e 5, incluindo 1 e 5
- Intervalos abertos: Não inclui os extremos do intervalo. Representado usando os parênteses:
(a, b) = {x ∈ R | a =< x =< b}
Exemplo: (1, 5) inclui todos os números entre 1 e 5, mas não inclui 1 e 5
- Intervalos semiabertos ou semifechados: Inclui apenas um dos extremos:
[a, b) ou (a, b]
Exemplo: [1, 5) inclui 1, mas não inclui 5
- Intervalos infinito: Um dos extremos pode ser o infinito ( ∞ ) ou menos infinito ( -∞), representando que o intervalo não tem limite superior ou inferior:
( -∞, b], [a, +∞ )
Exemplo: ( -∞, 5] representa todos os números menores que 5, ( 3, +∞ ) inclui todos os números maiores que 3, sem limite superior
Operações entre Intervalos Reais
As operações entre intervalos reais são realizados da mesma forma que as operações entre conjuntos. Serão apresentadas a seguir as operações de União, Intersecção e Diferença.
- União de Intervalos:
A união de dois intervalos reúne todos os elementos presentes em ambos os intervalos, tendo como resultado um intervalo que contém todos os números pertencentes a qualquer um dos intervalos considerados.
Veja o seguinte exemplo em que os intervalos se sobrepõem e formam um único intervalo contínuo:
Exemplo: A = [4, 9] ∪ B = [6, 12] = [4, 12]
Se os intervalos não se sobrepõem, como A = [1, 2] e B = [3, 4], a união seria disjunta:
Exemplo: A ∪ B = [1, 2] ∪ [3, 4]
- Intersecção:
A intersecção de dois intervalos tem como resultado o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os intervalos. Ou seja, é o intervalo que contém os números que estão nos dois intervalos.
Veja o exemplo caso os intervalos compartilhem elementos em comum:
Exemplo: A = [1, 4] ∩ B = [3, 6] = [3, 6]
Caso os intervalos não possuam elementos em comum, o resultado será o conjunto vazio ∅, veja:
Exemplo: A =[1, 3] ∩ B = [4,8] = ∅
- Diferença:
A diferença entre dois intervalos é o conjunto de elementos pertencem ao primeiro conjunto, mas não ao segundo. Ou seja, o resultado será o intervalo restante após remover a parte que é compartilhada com o segundo intervalo.
Esse é um exemplo caso os intervalos se sobrepõem:
Exemplo: Se A = [1, 5] e B = [3, 6], a diferenã A - B seria o intervalo que vai de 1 a 3, excluindo a parte que A e B compartilham:
A - B = [1, 3)
Agora, caso os intervalos não possuam elementos comuns a ambos, a diferença seria o próprio intervalo, veja:
A = [1, 3] e B = [4, 6], A - B = [1, 3]
Final
Com isso finalizamos essa Unidade, abordamos conceitos básicos e intermediários sobre conjuntos, conteúdo de suma importância para nosso estudo posteriormente. Espera que tenha gostado, caso tenha alguma observação nos envie uma mensagem. Esse material foi feito tendo como base o pdf de Unidade 1 Matemática Básica, créditos à Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas e Profa. Dra. Jussara Maria Martis pela estruturação do material. Informações foram adicionadas.
